Matemáticas Discretas TC1003


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1 Matemáticas Discretas TC1003 Módulo I: s Válidos Departamento de Matemáticas ITESM Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 1/50

2 En matemáticas y en lógica un argumento no es una disputa. Más bien, es una secuencia estructurada de afirmaciones que terminan en una conclusión. En esta sección veremos cómo determinar si un argumento es válido; es decir, cuándo la conclusión se deduce de los hechos que la preceden. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 2/50

3 Definición Un argumento es una secuencia de afirmaciones. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 3/50

4 Definición Un argumento es una secuencia de afirmaciones. Todas las afirmaciones excepto la última se llamarán premisas, o suposiciones o hipótesis. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 3/50

5 Definición Un argumento es una secuencia de afirmaciones. Todas las afirmaciones excepto la última se llamarán premisas, o suposiciones o hipótesis. La declaración final se llamará conclusión. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 3/50

6 Ejemplo Lo siguiente representa a un argumento: 1. Si Juan estudia adecuadamente, entonces Juan pasa el curso de Discretas. 2. Juan está estudiando adecuadamente. 3. Juan pasará el curso de Discretas. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 4/50

7 s Válidos e Inválidos Definición Diremos que un argumento es argumento válido si Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 5/50

8 s Válidos e Inválidos Definición Diremos que un argumento es argumento válido si para cualquier valor de las variables proposicionales involucradas en las fórmulas que hacen verdaderas las premisas, Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 5/50

9 s Válidos e Inválidos Definición Diremos que un argumento es argumento válido si para cualquier valor de las variables proposicionales involucradas en las fórmulas que hacen verdaderas las premisas, también la conclusión es verdadera. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 5/50

10 De la propia definición de argumento válido se puede deducir una metodología para verificar la validez de un argumento: Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 6/50

11 De la propia definición de argumento válido se puede deducir una metodología para verificar la validez de un argumento: 1. Identificar las premisas y la conclusión Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 6/50

12 De la propia definición de argumento válido se puede deducir una metodología para verificar la validez de un argumento: 1. Identificar las premisas y la conclusión 2. Construir una tabla de verdad que incluya las premisas y la conclusión Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 6/50

13 De la propia definición de argumento válido se puede deducir una metodología para verificar la validez de un argumento: 1. Identificar las premisas y la conclusión 2. Construir una tabla de verdad que incluya las premisas y la conclusión 3. Señalar de la tabla sólo aquellos renglones que hacen que todas las premisas sean verdaderas. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 6/50

14 De la propia definición de argumento válido se puede deducir una metodología para verificar la validez de un argumento: 1. Identificar las premisas y la conclusión 2. Construir una tabla de verdad que incluya las premisas y la conclusión 3. Señalar de la tabla sólo aquellos renglones que hacen que todas las premisas sean verdaderas. Estos se llamarán renglones críticos Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 6/50

15 De la propia definición de argumento válido se puede deducir una metodología para verificar la validez de un argumento: 1. Identificar las premisas y la conclusión 2. Construir una tabla de verdad que incluya las premisas y la conclusión 3. Señalar de la tabla sólo aquellos renglones que hacen que todas las premisas sean verdaderas. Estos se llamarán renglones críticos 4. Verificar que para los renglones críticos, la conclusión es verdadera. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 6/50

16 De la propia definición de argumento válido se puede deducir una metodología para verificar la validez de un argumento: 1. Identificar las premisas y la conclusión 2. Construir una tabla de verdad que incluya las premisas y la conclusión 3. Señalar de la tabla sólo aquellos renglones que hacen que todas las premisas sean verdaderas. Estos se llamarán renglones críticos 4. Verificar que para los renglones críticos, la conclusión es verdadera. En tal caso se tiene un válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 6/50

17 De la propia definición de argumento válido se puede deducir una metodología para verificar la validez de un argumento: 1. Identificar las premisas y la conclusión 2. Construir una tabla de verdad que incluya las premisas y la conclusión 3. Señalar de la tabla sólo aquellos renglones que hacen que todas las premisas sean verdaderas. Estos se llamarán renglones críticos 4. Verificar que para los renglones críticos, la conclusión es verdadera. En tal caso se tiene un válido ó Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 6/50

18 De la propia definición de argumento válido se puede deducir una metodología para verificar la validez de un argumento: 1. Identificar las premisas y la conclusión 2. Construir una tabla de verdad que incluya las premisas y la conclusión 3. Señalar de la tabla sólo aquellos renglones que hacen que todas las premisas sean verdaderas. Estos se llamarán renglones críticos 4. Verificar que para los renglones críticos, la conclusión es verdadera. En tal caso se tiene un válido ó 5. Detectar si existe un renglón crítico con conclusión falsa. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 6/50

19 De la propia definición de argumento válido se puede deducir una metodología para verificar la validez de un argumento: 1. Identificar las premisas y la conclusión 2. Construir una tabla de verdad que incluya las premisas y la conclusión 3. Señalar de la tabla sólo aquellos renglones que hacen que todas las premisas sean verdaderas. Estos se llamarán renglones críticos 4. Verificar que para los renglones críticos, la conclusión es verdadera. En tal caso se tiene un válido ó 5. Detectar si existe un renglón crítico con conclusión falsa. En cuyo caso se dirá inválido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 6/50

20 Ejemplos de validez Veamos ahora cómo se aplica el método descrito para probar la validez o invalidez de un argumento. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 7/50

21 Ejemplo Determine si el siguiente argumento es válido: 1. p q 2. q p 3. p q Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 8/50

22 Ejemplo Determine si el siguiente argumento es válido: 1. p q 2. q p 3. p q Solución Realizando la tabla de verdad obtenemos: p q p q q p p q F F T T F F T T F T T F F T T T T T T T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 8/50

23 De la cual los renglones críticos son: p q p q q p p q F F T T F F T T F T T F F T T T T T T T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 9/50

24 De la cual los renglones críticos son: p q p q q p p q F F T T F F T T F T T F F T T T T T T T De donde observamos que de los dos renglones críticos (renglón que corresponde a una combinación de las variables proposicionales que hacen verdaderas todas las hipótesis) uno de ellos tiene la conclusión falsa: Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 9/50

25 De la cual los renglones críticos son: p q p q q p p q F F T T F F T T F T T F F T T T T T T T De donde observamos que de los dos renglones críticos (renglón que corresponde a una combinación de las variables proposicionales que hacen verdaderas todas las hipótesis) uno de ellos tiene la conclusión falsa: concluimos que el argumento es inválido. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 9/50

26 Ejemplo Determine si el siguiente argumento es válido. 1. p q, 2. p r, 3. p q r Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 10/50

27 Ejemplo Determine si el siguiente argumento es válido. 1. p q, 2. p r, 3. p q r Solución Realizando la tabla de verdad obtenemos: p q r p q p r q r p q r F F F T T F T F F T T T F T F T F T T F T T F F F F F F F T T T T T T T F T F T F F T T F T F F F T T T T T T T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 10/50

28 De la cual los renglones críticos son: p q r p q p r q r p q r F F F T T F T F F T T T F T F T F T T F T T F F F F F F F T T T T T T T F T F T F F T T F T F F F T T T T T T T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 11/50

29 De la cual los renglones críticos son: p q r p q p r q r p q r F F F T T F T F F T T T F T F T F T T F T T F F F F F F F T T T T T T T F T F T F F T T F T F F F T T T T T T T De donde observamos que el argumento es válido. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 11/50

30 Ejemplo Determine si el siguiente argumento es válido. 1. p q r, 2. p q, 3. q p, 4. r Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 12/50

31 Ejemplo Determine si el siguiente argumento es válido. 1. p q r, 2. p q, 3. q p, 4. r Solución Realizando la tabla de verdad obtenemos: p q r q p q p q r p q q p F F F T F T F T F F T T F T F T F T F F F T T F T F F T T F T T F T T F F T T F T F T T T F T T T T F F F T T T T T T F F T T T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 12/50

32 De la cual los renglones críticos son: p q r q p q p q r p q q p F F F T F T F T F F T T F T F T F T F F F T T F T F F T T F T T F T T F F T T F T F T T T F T T T T F F F T T T T T T F F T T T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 13/50

33 De la cual los renglones críticos son: p q r q p q p q r p q q p F F F T F T F T F F T T F T F T F T F F F T T F T F F T T F T T F T T F F T T F T F T T T F T T T T F F F T T T T T T F F T T T De donde observamos que el argumento es inválido. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 13/50

34 El método de verificación de la validez de un argumento recien visto aunque correcto es uno poco humano y que no se puede llevar a cabo cuando el total de hipótesis a usar no está delimitado. El método de deducción natural consiste en construir un argumento para un conjunto de premisas y una conclusión. Este método se basa en el uso de reglas de inferencia que permiten ir obteniendo fórmulas verdaderas a partir de la suposición de que sean verdaderas un número reducido de fórmulas. Una regla de inferencia es a su vez un argumento y su validez será probada utilizando el método recien visto. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 14/50

35 Reglas Verifiquemos la validez de las reglas de inferencia que utilizaremos en el método de deducción natural. Modus Pones Modus Tollens Silogismo Disjuntivo Adición Disjuntiva Simplificación Conjuntiva Silogismo Hipotético Adición Conjuntiva Regla de Contradicción Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 15/50

36 Ejemplo Verifique la validez de la regla de inferencia modus ponens: 1. p q 2. p 3. q Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 16/50

37 Ejemplo Verifique la validez de la regla de inferencia modus ponens: 1. p q 2. p 3. q Solución Realizando la tabla de verdad obtenemos: p q p q p q F F T F F F T T F T T F F T F T T T T T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 16/50

38 De la cual los renglones críticos son: p q p q p q F F T F F F T T F T T F F T F T T T T T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 17/50

39 De la cual los renglones críticos son: p q p q p q F F T F F F T T F T T F F T F T T T T T De donde concluimos que el argumento es válido. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 17/50

40 Ejemplo Verifique la validez de la regla de inferencia modus tollens: 1. p q 2. q 3. p Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 18/50

41 Ejemplo Verifique la validez de la regla de inferencia modus tollens: 1. p q 2. q 3. p Solución Realizando la tabla de verdad obtenemos: p q p q q p F F T T T F T T F T T F F T F T T T F F Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 18/50

42 De la cual los renglones críticos son: p q p q q p F F T T T F T T F F T F F T T T T T F F Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 19/50

43 De la cual los renglones críticos son: p q p q q p F F T T T F T T F F T F F T T T T T F F De donde concluimos que el argumento es válido. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 19/50

44 Ejemplo Verifique la validez de la regla de inferencia silogismo disjuntivo: 1. p q 2. p 3. q Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 20/50

45 Ejemplo Verifique la validez de la regla de inferencia silogismo disjuntivo: 1. p q 2. p 3. q Solución Realizando la tabla de verdad obtenemos: p q p q p q F F F T F F T T T T T F T F F T T T F T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 20/50

46 De la cual los renglones críticos son: p q p q p q F F F T F F T T T T T F T F F T T T F T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 21/50

47 De la cual los renglones críticos son: p q p q p q F F F T F F T T T T T F T F F T T T F T De donde concluimos que el argumento es válido. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 21/50

48 Ejemplo Verifique la validez de la regla de inferencia adición disjuntiva: 1. p 2. p q Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 22/50

49 Ejemplo Verifique la validez de la regla de inferencia adición disjuntiva: 1. p 2. p q Solución Realizando la tabla de verdad obtenemos: p q p q F F F F T T T F T T T T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 22/50

50 De la cual los renglones críticos son: p q p q F F F F T T T F T T T T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 23/50

51 De la cual los renglones críticos son: p q p q F F F F T T T F T T T T De donde concluimos que el argumento es válido. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 23/50

52 Ejemplo Verifique la validez de la regla de inferencia simplificación conjuntiva: 1. p q 2. p Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 24/50

53 Ejemplo Verifique la validez de la regla de inferencia simplificación conjuntiva: 1. p q 2. p Solución Realizando la tabla de verdad obtenemos: p q p q F F F F T F T F F T T T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 24/50

54 De la cual los renglones críticos son: p q p q F F F F T F T F F T T T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 25/50

55 De la cual los renglones críticos son: p q p q F F F F T F T F F T T T De donde concluimos que el argumento es válido. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 25/50

56 Ejemplo Verifique la validez de la regla de inferencia silogismo hipotético: 1. p q, 2. q r, 3. p r Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 26/50

57 Ejemplo Verifique la validez de la regla de inferencia silogismo hipotético: 1. p q, 2. q r, 3. p r Solución Realizando la tabla de verdad obtenemos: p q r p q q r p r F F F T T T F F T T T T F T F T F T F T T T T T T F F F T F T F T F T T T T F T F F T T T T T T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 26/50

58 De la cual los renglones críticos son: p q r r q q r p r F F F T T T F F T T T T F T F T F T F T T T T T T F F F T F T F T F T T T T F T F F T T T T T T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 27/50

59 De la cual los renglones críticos son: p q r r q q r p r F F F T T T F F T T T T F T F T F T F T T T T T T F F F T F T F T F T T T T F T F F T T T T T T De donde observamos que el argumento es válido. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 27/50

60 Ejemplo Verifique la validez de la regla de inferencia adición conjuntiva: 1. p 2. q 3. p q Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 28/50

61 Ejemplo Verifique la validez de la regla de inferencia adición conjuntiva: 1. p 2. q 3. p q Solución Realizando la tabla de verdad obtenemos: p q p q F F F F T F T F F T T T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 28/50

62 De la cual los renglones críticos son: p q p q F F F F T F T F F T T T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 29/50

63 De la cual los renglones críticos son: p q p q F F F F T F T F F T T T De donde concluimos que el argumento es válido. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 29/50

64 Ejemplo Verifique la validez de la regla de inferencia de la regla de contradicción: 1. p F 2. p Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 30/50

65 Ejemplo Verifique la validez de la regla de inferencia de la regla de contradicción: 1. p F 2. p Solución Realizando la tabla de verdad obtenemos: p F p p F F F T F T F F T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 30/50

66 De la cual los renglones críticos son: p F p p F F F T F T F F T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 31/50

67 De la cual los renglones críticos son: p F p p F F F T F T F F T De donde concluimos que el argumento es válido. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 31/50

68 Una demostración para una proposición es un argumento válido construido para ella. La palabra demostrar una proposición consiste en construir un argumento válido para ella. Una proposición se dice teorema, si es posible demostrarla. Una proposición se dice lema, si es un teorema y posteriormente se planea usarla como una regla de inferencia. Una proposición se dice corolario a un teorema si es posible construir una demostración corta donde el teorema se use como una regla de inferencia. Una proposición se dice conjetura cuando no ha sido posible construir una demostración para ella pero en sustituciones se ha evaluado en verdadero. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 32/50

69 Ejemplos de deducción natural Veamos ahora unos ejemplos del uso de deducción natural. En lo siguiente demostrar consiste en construir un argumento válido. Es decir, ir colocando hipótesis o creando FBFs en una lista que será el argumento. Asimismo, se deberá justificar porqué cada FBB en el argumento es verdadera. El argumento partirá del supuesto que las hipótesis son verdaderas y deberá llegar a la conclusión deseada. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 33/50

70 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p H 2 : p q H 3 : q r C: r Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 34/50

71 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p H 2 : p q H 3 : q r C: r Solución FBF 1. p Justificación Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 34/50

72 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p H 2 : p q H 3 : q r C: r Solución FBF Justificación 1. p Hipótesis 1 2. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 34/50

73 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p H 2 : p q H 3 : q r C: r Solución FBF Justificación 1. p Hipótesis 1 2. p q..... Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 34/50

74 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p H 2 : p q H 3 : q r C: r Solución FBF Justificación 1. p Hipótesis 1 2. p q..... Hipótesis 2 3. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 34/50

75 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p H 2 : p q H 3 : q r C: r Solución FBF Justificación 1. p Hipótesis 1 2. p q..... Hipótesis 2 3. q Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 34/50

76 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p H 2 : p q H 3 : q r C: r Solución FBF Justificación 1. p Hipótesis 1 2. p q..... Hipótesis 2 3. q Modus ponens con 2. y Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 34/50

77 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p H 2 : p q H 3 : q r C: r Solución FBF Justificación 1. p Hipótesis 1 2. p q..... Hipótesis 2 3. q Modus ponens con 2. y q r.... Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 34/50

78 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p H 2 : p q H 3 : q r C: r Solución FBF Justificación 1. p Hipótesis 1 2. p q..... Hipótesis 2 3. q Modus ponens con 2. y q r.... Hipótesis Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 34/50

79 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p H 2 : p q H 3 : q r C: r Solución FBF Justificación 1. p Hipótesis 1 2. p q..... Hipótesis 2 3. q Modus ponens con 2. y q r.... Hipótesis r Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 34/50

80 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p H 2 : p q H 3 : q r C: r Solución FBF Justificación 1. p Hipótesis 1 2. p q..... Hipótesis 2 3. q Modus ponens con 2. y q r.... Hipótesis r Modus ponens con 4. y 5. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 34/50

81 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p r H 2 : r s H 3 : t s H 4 : t u H 5 : u C: p Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50

82 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p r H 2 : r s H 3 : t s H 4 : t u H 5 : u C: p Solución 1. u Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50

83 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p r H 2 : r s H 3 : t s H 4 : t u H 5 : u C: p Solución 1. u Hipótesis 5 2. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50

84 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p r H 2 : r s H 3 : t s H 4 : t u H 5 : u C: p Solución 1. u Hipótesis 5 2. t u Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50

85 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p r H 2 : r s H 3 : t s H 4 : t u H 5 : u C: p Solución 1. u Hipótesis 5 2. t u Hipótesis 4 3. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50

86 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p r H 2 : r s H 3 : t s H 4 : t u H 5 : u C: p Solución 1. u Hipótesis 5 2. t u Hipótesis 4 3. t Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50

87 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p r H 2 : r s H 3 : t s H 4 : t u H 5 : u C: p Solución 1. u Hipótesis 5 2. t u Hipótesis 4 3. t Silogismo disjuntivo con 2. y Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50

88 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p r H 2 : r s H 3 : t s H 4 : t u H 5 : u C: p Solución 1. u Hipótesis 5 2. t u Hipótesis 4 3. t Silogismo disjuntivo con 2. y t s Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50

89 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p r H 2 : r s H 3 : t s H 4 : t u H 5 : u C: p Solución 1. u Hipótesis 5 2. t u Hipótesis 4 3. t Silogismo disjuntivo con 2. y t s Hipótesis Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50

90 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p r H 2 : r s H 3 : t s H 4 : t u H 5 : u C: p Solución 1. u Hipótesis 5 2. t u Hipótesis 4 3. t Silogismo disjuntivo con 2. y t s Hipótesis s Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50

91 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p r H 2 : r s H 3 : t s H 4 : t u H 5 : u C: p Solución 1. u Hipótesis 5 2. t u Hipótesis 4 3. t Silogismo disjuntivo con 2. y t s Hipótesis s Silogismo disjuntivo con 4. y Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50

92 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p r H 2 : r s H 3 : t s H 4 : t u H 5 : u C: p Solución 1. u Hipótesis 5 2. t u Hipótesis 4 3. t Silogismo disjuntivo con 2. y t s Hipótesis s Silogismo disjuntivo con 4. y r s Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50

93 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p r H 2 : r s H 3 : t s H 4 : t u H 5 : u C: p Solución 1. u Hipótesis 5 2. t u Hipótesis 4 3. t Silogismo disjuntivo con 2. y t s Hipótesis s Silogismo disjuntivo con 4. y r s Hipótesis Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50

94 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p r H 2 : r s H 3 : t s H 4 : t u H 5 : u C: p Solución 1. u Hipótesis 5 2. t u Hipótesis 4 3. t Silogismo disjuntivo con 2. y t s Hipótesis s Silogismo disjuntivo con 4. y r s Hipótesis r Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50

95 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p r H 2 : r s H 3 : t s H 4 : t u H 5 : u C: p Solución 1. u Hipótesis 5 2. t u Hipótesis 4 3. t Silogismo disjuntivo con 2. y t s Hipótesis s Silogismo disjuntivo con 4. y r s Hipótesis r Modus tollens con 6. y Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50

96 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p r H 2 : r s H 3 : t s H 4 : t u H 5 : u C: p Solución 1. u Hipótesis 5 2. t u Hipótesis 4 3. t Silogismo disjuntivo con 2. y t s Hipótesis s Silogismo disjuntivo con 4. y r s Hipótesis r Modus tollens con 6. y p r Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50

97 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p r H 2 : r s H 3 : t s H 4 : t u H 5 : u C: p Solución 1. u Hipótesis 5 2. t u Hipótesis 4 3. t Silogismo disjuntivo con 2. y t s Hipótesis s Silogismo disjuntivo con 4. y r s Hipótesis r Modus tollens con 6. y p r Hipótesis Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50

98 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p r H 2 : r s H 3 : t s H 4 : t u H 5 : u C: p Solución 1. u Hipótesis 5 2. t u Hipótesis 4 3. t Silogismo disjuntivo con 2. y t s Hipótesis s Silogismo disjuntivo con 4. y r s Hipótesis r Modus tollens con 6. y p r Hipótesis p Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50

99 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p r H 2 : r s H 3 : t s H 4 : t u H 5 : u C: p Solución 1. u Hipótesis 5 2. t u Hipótesis 4 3. t Silogismo disjuntivo con 2. y t s Hipótesis s Silogismo disjuntivo con 4. y r s Hipótesis r Modus tollens con 6. y p r Hipótesis p Modus tollens con 8. y 7. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50

100 Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q H 2 : p r C: q r Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50

101 Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q H 2 : p r C: q r Solución 1. p q Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50

102 Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q H 2 : p r C: q r Solución 1. p q Hipótesis Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50

103 Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q H 2 : p r C: q r Solución 1. p q Hipótesis p q.... Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50

104 Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q H 2 : p r C: q r Solución 1. p q Hipótesis p q.... Equiv. implicación en Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50

105 Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q H 2 : p r C: q r Solución 1. p q Hipótesis p q.... Equiv. implicación en p r..... Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50

106 Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q H 2 : p r C: q r Solución 1. p q Hipótesis p q.... Equiv. implicación en p r..... Hipótesis Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50

107 Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q H 2 : p r C: q r Solución 1. p q Hipótesis p q.... Equiv. implicación en p r..... Hipótesis r p..... Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50

108 Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q H 2 : p r C: q r Solución 1. p q Hipótesis p q.... Equiv. implicación en p r..... Hipótesis r p..... Conmutatividad en Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50

109 Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q H 2 : p r C: q r Solución 1. p q Hipótesis p q.... Equiv. implicación en p r..... Hipótesis r p..... Conmutatividad en r p.. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50

110 Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q H 2 : p r C: q r Solución 1. p q Hipótesis p q.... Equiv. implicación en p r..... Hipótesis r p..... Conmutatividad en r p.. Equiv. implicación en Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50

111 Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q H 2 : p r C: q r Solución 1. p q Hipótesis p q.... Equiv. implicación en p r..... Hipótesis r p..... Conmutatividad en r p.. Equiv. implicación en r q.... Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50

112 Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q H 2 : p r C: q r Solución 1. p q Hipótesis p q.... Equiv. implicación en p r..... Hipótesis r p..... Conmutatividad en r p.. Equiv. implicación en r q.... Silog. hipotético con 5. y Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50

113 Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q H 2 : p r C: q r Solución 1. p q Hipótesis p q.... Equiv. implicación en p r..... Hipótesis r p..... Conmutatividad en r p.. Equiv. implicación en r q.... Silog. hipotético con 5. y ( r) q.. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50

114 Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q H 2 : p r C: q r Solución 1. p q Hipótesis p q.... Equiv. implicación en p r..... Hipótesis r p..... Conmutatividad en r p.. Equiv. implicación en r q.... Silog. hipotético con 5. y ( r) q.. Equiv. implicación en Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50

115 Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q H 2 : p r C: q r Solución 1. p q Hipótesis p q.... Equiv. implicación en p r..... Hipótesis r p..... Conmutatividad en r p.. Equiv. implicación en r q.... Silog. hipotético con 5. y ( r) q.. Equiv. implicación en q r Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50

116 Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q H 2 : p r C: q r Solución 1. p q Hipótesis p q.... Equiv. implicación en p r..... Hipótesis r p..... Conmutatividad en r p.. Equiv. implicación en r q.... Silog. hipotético con 5. y ( r) q.. Equiv. implicación en q r Doble negación y conmutatividad en 7. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50

117 Ejemplo (Lema 2) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : p q C : p r Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50

118 Ejemplo (Lema 2) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: Solución 1. p q r H 1 : p q r H 2 : p q C : p r Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50

119 Ejemplo (Lema 2) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: Solución 1. p q r Hipótesis H 1 : p q r H 2 : p q C : p r Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50

120 Ejemplo (Lema 2) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... H 1 : p q r H 2 : p q C : p r Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50

121 Ejemplo (Lema 2) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en H 1 : p q r H 2 : p q C : p r Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50

122 Ejemplo (Lema 2) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... H 1 : p q r H 2 : p q C : p r Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50

123 Ejemplo (Lema 2) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : p q C : p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50

124 Ejemplo (Lema 2) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : p q C : p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en p q Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50

125 Ejemplo (Lema 2) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : p q C : p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en p q Hipótesis Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50

126 Ejemplo (Lema 2) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : p q C : p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en p q Hipótesis p q Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50

127 Ejemplo (Lema 2) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : p q C : p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en p q Hipótesis p q Equiv. implicación en Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50

128 Ejemplo (Lema 2) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : p q C : p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en p q Hipótesis p q Equiv. implicación en q p Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50

129 Ejemplo (Lema 2) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : p q C : p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en p q Hipótesis p q Equiv. implicación en q p Prop. conmutativa en Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50

130 Ejemplo (Lema 2) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : p q C : p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en p q Hipótesis p q Equiv. implicación en q p Prop. conmutativa en ( p r) p.... Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50

131 Ejemplo (Lema 2) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : p q C : p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en p q Hipótesis p q Equiv. implicación en q p Prop. conmutativa en ( p r) p.... Lema 1 con 5. y Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50

132 Ejemplo (Lema 2) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : p q C : p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en p q Hipótesis p q Equiv. implicación en q p Prop. conmutativa en ( p r) p.... Lema 1 con 5. y ( p p) r.... Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50

133 Ejemplo (Lema 2) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : p q C : p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en p q Hipótesis p q Equiv. implicación en q p Prop. conmutativa en ( p r) p.... Lema 1 con 5. y ( p p) r.... Prop. asociativas y conmutativas en Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50

134 Ejemplo (Lema 2) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : p q C : p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en p q Hipótesis p q Equiv. implicación en q p Prop. conmutativa en ( p r) p.... Lema 1 con 5. y ( p p) r.... Prop. asociativas y conmutativas en p r Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50

135 Ejemplo (Lema 2) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : p q C : p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en p q Hipótesis p q Equiv. implicación en q p Prop. conmutativa en ( p r) p.... Lema 1 con 5. y ( p p) r.... Prop. asociativas y conmutativas en p r Ley idempotencia en Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50

136 Ejemplo (Lema 2) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : p q C : p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en p q Hipótesis p q Equiv. implicación en q p Prop. conmutativa en ( p r) p.... Lema 1 con 5. y ( p p) r.... Prop. asociativas y conmutativas en p r Ley idempotencia en p r Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50

137 Ejemplo (Lema 2) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : p q C : p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en p q Hipótesis p q Equiv. implicación en q p Prop. conmutativa en ( p r) p.... Lema 1 con 5. y ( p p) r.... Prop. asociativas y conmutativas en p r Ley idempotencia en p r Equiv. implicación en 9. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50

138 Ejemplo (Lema 3) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : q r C: p r Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50

139 Ejemplo (Lema 3) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: Solución 1. p q r H 1 : p q r H 2 : q r C: p r Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50

140 Ejemplo (Lema 3) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: Solución 1. p q r Hipótesis H 1 : p q r H 2 : q r C: p r Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50

141 Ejemplo (Lema 3) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... H 1 : p q r H 2 : q r C: p r Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50

142 Ejemplo (Lema 3) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en H 1 : p q r H 2 : q r C: p r Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50

143 Ejemplo (Lema 3) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... H 1 : p q r H 2 : q r C: p r Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50

144 Ejemplo (Lema 3) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : q r C: p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50

145 Ejemplo (Lema 3) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : q r C: p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en q r Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50

146 Ejemplo (Lema 3) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : q r C: p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en q r Hipótesis Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50

147 Ejemplo (Lema 3) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : q r C: p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en q r Hipótesis q r Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50

148 Ejemplo (Lema 3) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : q r C: p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en q r Hipótesis q r Equiv. implicación en Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50

149 Ejemplo (Lema 3) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : q r C: p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en q r Hipótesis q r Equiv. implicación en ( p r) r..... Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50

150 Ejemplo (Lema 3) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : q r C: p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en q r Hipótesis q r Equiv. implicación en ( p r) r..... Lema 1 con 3. y Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50

151 Ejemplo (Lema 3) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : q r C: p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en q r Hipótesis q r Equiv. implicación en ( p r) r..... Lema 1 con 3. y p (r r)..... Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50

152 Ejemplo (Lema 3) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : q r C: p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en q r Hipótesis q r Equiv. implicación en ( p r) r..... Lema 1 con 3. y p (r r)..... Prop. asociativa en Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50

153 Ejemplo (Lema 3) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : q r C: p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en q r Hipótesis q r Equiv. implicación en ( p r) r..... Lema 1 con 3. y p (r r)..... Prop. asociativa en p r Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50

154 Ejemplo (Lema 3) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : q r C: p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en q r Hipótesis q r Equiv. implicación en ( p r) r..... Lema 1 con 3. y p (r r)..... Prop. asociativa en p r Ley idempotencia en Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50

155 Ejemplo (Lema 3) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : q r C: p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en q r Hipótesis q r Equiv. implicación en ( p r) r..... Lema 1 con 3. y p (r r)..... Prop. asociativa en p r Ley idempotencia en p r Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50

156 Ejemplo (Lema 3) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : q r C: p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en q r Hipótesis q r Equiv. implicación en ( p r) r..... Lema 1 con 3. y p (r r)..... Prop. asociativa en p r Ley idempotencia en p r Equiv. implicación en 8. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50

157 Qué ocurre cuando después de un argumento no obtenemos algo correcto? Hay dos alternativas importantes: Cuando el argumento es válido: en éste a su vez tenemos dos alternativas importantes: Cuando se partió de alguna hipótesis falsa. Cuando durante la demostración se añadieron involuntariamente hipótesis adicionales. Cuando el argumento es inválido: este caso ocurre cuando alguna regla de inferencia ha sido mal interpretada o se ha usado una proposicional como regla de inferencia cuando es una contingencia. En este caso se dice que el argumento es una falacia. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 39/50

158 En esta lectura veremos algunos ejemplos interesantes que se presentaron en la realización de la tarea. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 40/50

159 El problema de los mentirosos y los honestos Supongamos que estás en el pueblo donde las personas son siempre mentirosas o siempre honestas. Digamos que te encuentras a dos personas; llamémosles A y B. Sólo A habla y dice: ambos somos mentirosos. Indique la opción que declara cómo son A y B. A A es honesto es pero B mentiroso B A es mentiroso pero B es honesto C A y B son honestos D A y B son mentirosos E No es posible concluir Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 41/50

160 La metodología que seguiremos para resolver el problema será la revisión exhaustiva de los casos posibles. Para cada uno de ellos elaboraremos un argumento lógico y veremos si nos lleva a una contradicción lógica. Aquellos casos que conduzcan a una contradicción se descartarán. Los casos posibles son Caso I: A es honesto y B son honesto Caso II: A es honesto y B es mentiroso Caso III: A es mentiroso y B es honesto Caso IV: A es mentiroso y B es mentiroso En el desarrollo de los casos, si x es honesto entoces lo que dice x se toma como cierto. Si x es mentiroso, lo contrario de lo que dice x es cierto. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 42/50

161 Caso I Tomemos p: A es honesto y q: B es honesto. Así lo que dice A es p q. Siendo A honesto lo que dice se toma como cierto. Así el razonamiento queda: Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 43/50

162 Caso I Tomemos p: A es honesto y q: B es honesto. Así lo que dice A es p q. Siendo A honesto lo que dice se toma como cierto. Así el razonamiento queda: 1. p Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 43/50

163 Caso I Tomemos p: A es honesto y q: B es honesto. Así lo que dice A es p q. Siendo A honesto lo que dice se toma como cierto. Así el razonamiento queda: 1. p Condición del caso I 2. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 43/50

164 Caso I Tomemos p: A es honesto y q: B es honesto. Así lo que dice A es p q. Siendo A honesto lo que dice se toma como cierto. Así el razonamiento queda: 1. p Condición del caso I 2. q Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 43/50

165 Caso I Tomemos p: A es honesto y q: B es honesto. Así lo que dice A es p q. Siendo A honesto lo que dice se toma como cierto. Así el razonamiento queda: 1. p Condición del caso I 2. q Condición del caso I 3. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 43/50

166 Caso I Tomemos p: A es honesto y q: B es honesto. Así lo que dice A es p q. Siendo A honesto lo que dice se toma como cierto. Así el razonamiento queda: 1. p Condición del caso I 2. q Condición del caso I 3. p q Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 43/50

167 Caso I Tomemos p: A es honesto y q: B es honesto. Así lo que dice A es p q. Siendo A honesto lo que dice se toma como cierto. Así el razonamiento queda: 1. p Condición del caso I 2. q Condición del caso I 3. p q Lo que dice A 4. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 43/50

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